Une petite historique du nombre d’or

On le désigne par la lettre grecque φ ( phi ) en hommage au sculpteur grec Phidias (né vers 490 et mort vers 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes. C’est Théodore Cook qui introduisit cette notation en 1914.

L’ histoire ...

Il y a 10 000 ans : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d’or (temple d’Andros découvert sous la mer des Bahamas).

2800 av J.C : La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l’importance que son architecte attachait au nombre d’or.

Vème siècle avant J-C. (447-432 av.JC) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d’or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d’Athéna Parthénos . Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport.

IIIème siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d’un segment en "extrême et moyenne raison".

1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion").

Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d’or" (der goldene Schnitt) et s’y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l’esthétique et l’architecture. Il cherche ce rapport, et le trouve dans beaucoup de monuments classiques. C’est lui qui introduit le côté mythique et mystique du nombre d’or.

Définition et valeur du nombre d’or

Le nombre d’or est la solution positive de l’équation :x²-x-1= 0 , c’est-à dire le nombre :(1+√2)/2

Les 100 premières décimales du nombre d’or sont : 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041

Où rencontre-t-on le nombre d’or ?

Rectangle d’or

Le rectangle BCFE est obtenu en retirant le plus grand carré possible du rectangle ABCD.

ABCD et BCFE ont le même format si L/l = φ .

Pyramide de Khéops

Le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est le nombre d’or. Il semble que ceci soit vrai, en dehors de toute considération ésotérique. D’après Hérodote, des prêtres égyptiens disaient que les dimensions de la grande pyramide avaient été choisies telles que : "Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires"

Le Panthénon

Le Parthénon s’inscrit dans un rectangle doré, c’est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d’or.

Sur la figure : DC/DE = φ .

Sur la toiture du temple, GF/GI = φ

Le rectangle GBFH est appelé rectangle Parthénon.

Construction géométrique du nombre d’or

Spirale d’or

La figure est construite à partir d’un grand rectangle d’or. On retire le grand carré au grand rectangle d’or et on obtient un petit rectangle d’or. Ensuite, on retire le petit carré au petit rectangle d’or et on obtient un rectangle d’or plus petit. On réitère l’opération indéfiniment. Elle ne s’arrête pas car la longueur et la largeur d’un rectangle d’or sont incommensurables (on ne peut pas mesurer l’un en prenant l’autre pour unité).

La spirale obtenue est une spirale équiangulaire qui se rencontre beaucoup dans la nature : tournesols, pommes de pins, coquillages, disposition des feuilles ou des pétales sur certaines plantes.

Le nombre d’or vu dans les domaines autres que les mathématiques

Nombre d’or ou Nombre d’art ?

Le nombre d’or, bien qu’étant une grandeur purement arithmétique, est aussi une mystérieuse expression, à laquelle on attribue certaines propriétés esthétiques. Cette expression est fréquemment utilisée dans les propos des artistes : architectes, peintres... Puisque ce nombre est considéré comme une proportion particulièrement esthétique, certains croient que le nombre d’or est la clé de la connaissance et même que ce nombre tient sous sa dépendance toute oeuvre d’art digne de ce nom.

Le nombre d’or chez les animaux et les humains

Concernant le nombre d’or lié au règne animal et à l’homme, il est important de mentionner que certains animaux, comme l’étoile de mer et l’oursin, ont des formes correspondant au pentagone régulier étoilé. Mais c’est surtout à propos du corps et du visage humain qu’est invoqué le nombre d’or. Par exemple, le nombril divise le corps humain suivant le nombre d’or. En termes plus précis, on pourrait dire que le rapport de la hauteur totale du corps humain à la hauteur du nombril est égal au nombre d’or. De plus, on dit que le rapport de la première phalange à la deuxième, ou de la deuxième à la troisième, est égal au nombre d’or. Fascinant, n’est-ce pas ?

Le nombre d’or dans le règne végétal

Lorsque nous regardons attentivement certains végétaux, on peut y découvrir le nombre d’or. Cependant, c’est depuis peu que nous avons compris pourquoi chez de nombreux végétaux, feuilles, écailles et pétales forment des spirales qui sont reliées au nombre d’or. Ces figures ne font pas parties du patrimoine génétique de ces végétaux, mais plutôt de leur dynamique de croissance qui provoque l’apparition de ces spirales liées au nombre d’or. En effet, lors de la croissance de ces végétaux, on remarque la constance du nombre d’or. Par exemple, dans la pomme de pin, on retrouve 5 spirales dans le sens des aiguilles d’une montre et 8 dans le sens opposé, ou 8 et 13 chez l’ananas ou même 34 et 58 pour le tournesol (rappelons-nous, par exemple, que le rapport entre 5 et 8 s’approche grandement du nombre d’or...).

Petite réflexion sur le nombre d’or

Le nombre d’or peur être considéré, à cause de l’attrait quelque peu mystérieux qui ’y rattache, comme un stimulateur de premier ordre car, en étant attentif nous pouvons l’observer autour de nous . Il convient donc d’en profiter ! Alors, allez-y et essayez de découvrir où peut se cacher le nombre d’or . Pour vous aider, regarder si, entre certaines longueurs, certains volumes, certaines graduations de tons ou autres, il existe de subtiles correspondances comme des rapports de proportions...

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Seif - Doctorant à l’Institut de Mathématiques de Jussieu - Université de Paris VI - a compilé cet article.

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